Apa itu Turunan?
Turunan adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk mengukur perubahan suatu fungsi terhadap variabelnya. Dalam konteks trigonometri, kita akan membahas pembuktian turunan fungsi trigonometri khususnya turunan dari fungsi sec x.
Apa itu Fungsi Sec x?
Sec x adalah singkatan dari fungsi sekans. Fungsi ini merupakan fungsi trigonometri yang didefinisikan sebagai kebalikan dari fungsi kosinus. Secara matematis, fungsi sec x dapat dituliskan sebagai:
sec x = 1 / cos x
Cara Membuktikan Turunan Sec x
Untuk membuktikan turunan dari fungsi sec x, kita akan menggunakan aturan turunan. Aturan turunan fungsi sec x adalah sebagai berikut:
d/dx(sec x) = sec x * tan x
Langkah-Langkah Pembuktian
1. Pertama, kita akan menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah fungsi sec x menjadi fungsi sin x dan cos x.
sec x = 1 / cos x = cos x / (sin x * cos x) = cos x / sin x
2. Selanjutnya, kita akan menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan dari fungsi sec x.
d/dx(sec x) = d/dx(cos x / sin x)
3. Kita akan menggunakan aturan turunan bagi hasil dan aturan turunan fungsi trigonometri untuk menyederhanakan persamaan.
d/dx(sec x) = (sin x * d/dx(cos x) – cos x * d/dx(sin x)) / (sin x)^2
4. Kita tahu bahwa turunan dari fungsi sin x adalah cos x dan turunan dari fungsi cos x adalah -sin x.
d/dx(sec x) = (sin x * (-sin x) – cos x * cos x) / (sin x)^2
5. Dalam langkah terakhir, kita akan menyederhanakan persamaan tersebut.
d/dx(sec x) = -sin^2(x) – cos^2(x) / (sin x)^2
d/dx(sec x) = -1 / (sin x)^2
Kesimpulan
Jadi, turunan dari fungsi sec x adalah -1 dibagi dengan sinus kuadrat x atau -1 / (sin x)^2. Pembuktian ini dilakukan dengan menggunakan aturan turunan dan identitas trigonometri. Turunan sec x sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematika dan fisika, terutama dalam perhitungan integral dan pemodelan sistem yang melibatkan fungsi trigonometri.