Pendahuluan
Fungsi kontinu adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang. Dalam pembelajaran matematika, seringkali kita diberikan contoh soal kekontinuan fungsi untuk melatih pemahaman kita tentang konsep ini. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal kekontinuan fungsi beserta pembahasannya.
Contoh Soal 1
Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2x + 3. Tentukanlah apakah fungsi ini kontinu pada seluruh domainnya.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kekontinuan fungsi, kita perlu memeriksa apakah terdapat titik-titik diskontinuitas pada domain fungsi. Namun, fungsi f(x) = 2x + 3 merupakan fungsi linear yang kontinu pada seluruh domainnya, sehingga tidak terdapat titik diskontinuitas. Dengan demikian, fungsi ini kontinu pada seluruh domainnya.
Contoh Soal 2
Tentukanlah kekontinuan fungsi f(x) = sqrt(x) pada titik x = 4.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kekontinuan fungsi pada suatu titik, kita perlu memeriksa batas kiri dan batas kanan pada titik tersebut. Pada contoh ini, kita akan memeriksa batas kiri dan batas kanan dari x = 4.
Batas kiri: lim x→4^- √(x) = √(4) = 2
Batas kanan: lim x→4^+ √(x) = √(4) = 2
Karena batas kiri dan batas kanan bernilai sama, maka fungsi f(x) = sqrt(x) kontinu pada titik x = 4.
Contoh Soal 3
Tentukanlah kekontinuan fungsi f(x) = 1/x pada titik x = 0.
Penyelesaian:
Pada contoh ini, kita akan memeriksa batas kiri dan batas kanan dari x = 0.
Batas kiri: lim x→0^- 1/x = -∞
Batas kanan: lim x→0^+ 1/x = +∞
Karena batas kiri dan batas kanan tidak bernilai sama, maka fungsi f(x) = 1/x tidak kontinu pada titik x = 0.
Contoh Soal 4
Misalkan diberikan fungsi f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2). Tentukanlah kekontinuan fungsi ini pada seluruh domainnya.
Penyelesaian:
Untuk menentukan kekontinuan fungsi, kita perlu memeriksa apakah terdapat titik-titik diskontinuitas pada domain fungsi. Pada contoh ini, kita perlu memeriksa apakah terdapat titik diskontinuitas pada x = 2.
Jika kita substitusikan x = 2 ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk tak hingga (indeterminate form), yaitu (2^2 – 4)/(2 – 2) = 0/0. Hal ini menunjukkan adanya titik diskontinuitas pada x = 2.
Untuk menyelesaikan titik diskontinuitas ini, kita dapat melakukan faktorisasi pada fungsi.
f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) = ((x – 2)(x + 2))/(x – 2)
Pada fungsi yang sudah difaktorisasi, kita dapat melakukan penyederhanaan dengan membagi (x – 2) pada kedua suku.
f(x) = x + 2
Dengan demikian, titik diskontinuitas pada x = 2 telah dihilangkan dan fungsi f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) menjadi f(x) = x + 2. Oleh karena itu, fungsi ini kontinu pada seluruh domainnya kecuali pada x = 2.
Kesimpulan
Dalam pembelajaran matematika, pemahaman tentang kekontinuan fungsi sangatlah penting. Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal kekontinuan fungsi beserta pembahasannya. Pada contoh-contoh tersebut, kita telah mempelajari cara menentukan kekontinuan fungsi pada seluruh domainnya maupun pada titik-titik tertentu. Dengan pemahaman yang baik tentang kekontinuan fungsi, kita dapat menerapkan konsep ini dalam pemecahan masalah matematika yang lebih kompleks. Teruslah berlatih dan tingkatkan pemahamanmu tentang kekontinuan fungsi. Selamat belajar!