Fungsi kontinu adalah topik yang penting dalam matematika, terutama dalam analisis real. Fungsi kontinu digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua variabel yang berubah secara terus-menerus tanpa terdapat loncatan atau celah. Dalam artikel ini, kita akan melihat beberapa contoh soal fungsi kontinu yang akan membantu meningkatkan pemahaman kita tentang konsep ini. Mari kita mulai!
Pertanyaan 1: Fungsi Kontinu di Interval Tertutup
Misalnya, kita memiliki fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai berikut:
f(x) = 2x + 5, untuk -1 ≤ x ≤ 3
Dalam contoh ini, kita diberikan interval tertutup -1 hingga 3. Pertanyaannya adalah apakah fungsi f(x) kontinu di interval ini?
Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu memeriksa apakah fungsi ini kontinu di setiap titik dalam interval tersebut. Kita dapat melakukan ini dengan memeriksa apakah batas kiri dan batas kanan fungsi sama di setiap titik dalam interval.
Misalnya, mari kita periksa apakah fungsi kontinu di titik x = 2.
Batas kiri (x → 2-) dari fungsi ini adalah:
lim (x → 2-) f(x) = lim (x → 2-) (2x + 5) = 2(2) + 5 = 9
Batas kanan (x → 2+) dari fungsi ini adalah:
lim (x → 2+) f(x) = lim (x → 2+) (2x + 5) = 2(2) + 5 = 9
Karena batas kiri dan batas kanan fungsi ini sama di titik x = 2, maka fungsi ini kontinu di interval -1 hingga 3.
Pertanyaan 2: Fungsi Kontinu pada Interval Tak Tertutup
Mari kita lihat contoh lain dengan fungsi g(x) yang didefinisikan sebagai berikut:
g(x) = √x, untuk 0 ≤ x < 9
Dalam contoh ini, kita diberikan interval tak tertutup 0 hingga 9. Apakah fungsi g(x) kontinu di interval ini?
Kembali, kita perlu memeriksa apakah batas kiri dan batas kanan fungsi ini sama di setiap titik dalam interval.
Misalnya, mari kita periksa apakah fungsi kontinu di titik x = 4.
Batas kiri (x → 4-) dari fungsi ini adalah:
lim (x → 4-) g(x) = lim (x → 4-) √x = √4 = 2
Batas kanan (x → 4+) dari fungsi ini adalah:
lim (x → 4+) g(x) = lim (x → 4+) √x = √4 = 2
Karena batas kiri dan batas kanan fungsi ini sama di titik x = 4, maka fungsi ini kontinu di interval 0 hingga 9.
Pertanyaan 3: Fungsi Kontinu dengan Pecahan
Sekarang, mari kita lihat contoh dengan fungsi h(x) yang didefinisikan sebagai berikut:
h(x) = (x^2 – 4) / (x – 2), untuk x ≠ 2
Dalam contoh ini, fungsi h(x) tidak terdefinisi pada x = 2 karena menghasilkan pembagian dengan nol. Namun, apakah fungsi ini kontinu di titik x = 2?
Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu memeriksa apakah batas kiri dan batas kanan fungsi ini sama di titik x = 2.
Batas kiri (x → 2-) dari fungsi ini adalah:
lim (x → 2-) h(x) = lim (x → 2-) [(x^2 – 4) / (x – 2)]
Kita dapat memfaktorkan pembilang menjadi (x – 2)(x + 2) dan menyederhanakan fungsi menjadi:
lim (x → 2-) h(x) = lim (x → 2-) (x + 2) = 2 + 2 = 4
Batas kanan (x → 2+) dari fungsi ini adalah:
lim (x → 2+) h(x) = lim (x → 2+) [(x^2 – 4) / (x – 2)]
Kita dapat menggunakan faktorisasi ulang lagi dan menyederhanakan fungsi menjadi:
lim (x → 2+) h(x) = lim (x → 2+) (x + 2) = 2 + 2 = 4
Karena batas kiri dan batas kanan fungsi ini sama di titik x = 2, maka fungsi ini kontinu di semua titik dalam domainnya, kecuali pada titik x = 2.
Pertanyaan 4: Fungsi Kontinu pada Interval Terbuka
Terakhir, mari kita lihat contoh dengan fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai berikut:
f(x) = 3x – 2, untuk x > 0
Dalam contoh ini, kita diberikan interval terbuka x > 0. Apakah fungsi f(x) kontinu di interval ini?
Karena kita memiliki interval terbuka, kita hanya perlu memeriksa batas kanan fungsi ini di setiap titik dalam interval.
Misalnya, mari kita periksa apakah fungsi kontinu di titik x = 2.
Batas kanan (x → 2+) dari fungsi ini adalah:
lim (x → 2+) f(x) = lim (x → 2+) (3x – 2) = 3(2) – 2 = 4
Karena batas kanan fungsi ini terdefinisi dan sama di titik x = 2, maka fungsi ini kontinu di interval x > 0.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah melihat beberapa contoh soal fungsi kontinu. Kita telah mempelajari cara memeriksa apakah fungsi kontinu di suatu interval dengan membandingkan batas kiri dan batas kanan fungsi di setiap titik. Kita juga melihat contoh dengan fungsi yang tidak terdefinisi pada suatu titik, tetapi tetap kontinu di sekitarnya.
Dengan memahami contoh-contoh ini, kita dapat meningkatkan pemahaman kita tentang konsep fungsi kontinu dan menerapkannya dalam pemecahan masalah matematika yang lebih kompleks. Selamat belajar!