Apa itu Fungsi Implisit?
Fungsi implisit adalah jenis fungsi matematika yang dinyatakan secara tidak langsung oleh suatu persamaan. Dalam fungsi implisit, variabel-variabel yang terlibat tidak terpisah secara eksplisit. Sebaliknya, variabel-variabel tersebut saling terhubung dan sulit untuk dipecahkan secara langsung. Fungsi implisit sering digunakan dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, dan ekonomi.
Contoh Soal Fungsi Implisit
Berikut ini adalah beberapa contoh soal fungsi implisit beserta penyelesaiannya:
Contoh Soal 1
Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran dengan persamaan x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (2, 3).
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan lingkaran terlebih dahulu. Dalam hal ini, persamaan lingkaran dapat ditulis dalam bentuk:
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
Dengan membandingkan persamaan lingkaran dengan persamaan yang diberikan, didapatkan:
(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25
Setelah itu, turunkan persamaan garis singgung dengan menggunakan konsep turunan. Turunan pertama persamaan lingkaran adalah:
2(x – 2) + 2(y – 3)y’ = 0
Substitusikan titik (2, 3) ke dalam persamaan turunan pertama:
2(2 – 2) + 2(3 – 3)y’ = 0
2(0) + 2(0)y’ = 0
0 + 0 = 0
Dari hasil tersebut, diperoleh y’ = 0. Sehingga persamaan garis singgung adalah:
y – 3 = 0
Jadi, persamaan garis singgung dari lingkaran x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (2, 3) adalah y – 3 = 0.
Contoh Soal 2
Tentukanlah gradien dari garis singgung kurva fungsi implisit x^3 + y^3 – 3xy = 0 di titik (1, 1).
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan fungsi implisit terlebih dahulu. Dalam hal ini, persamaan dapat ditulis sebagai:
x^3 + y^3 – 3xy = 0
Turunkan persamaan tersebut terhadap x dan y menggunakan aturan rantai:
3x^2 + 3y^2y’ – 3xy’ – 3y = 0
Substitusikan titik (1, 1) ke dalam persamaan turunan pertama:
3(1)^2 + 3(1)^2y’ – 3(1)y’ – 3(1) = 0
3 + 3y’ – 3y’ – 3 = 0
3 – 3 = -3y’ + 3y’
0 = 0y’
Dari hasil tersebut, diperoleh y’ = 0. Sehingga gradien garis singgung adalah 0.
Contoh Soal 3
Tentukanlah persamaan garis singgung dari fungsi implisit e^(2x) + e^(2y) = 1 di titik (0, 0).
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan fungsi implisit terlebih dahulu. Dalam hal ini, persamaan dapat ditulis sebagai:
e^(2x) + e^(2y) = 1
Turunkan persamaan tersebut terhadap x dan y menggunakan aturan rantai:
2e^(2x)x’ + 2e^(2y)y’ = 0
Substitusikan titik (0, 0) ke dalam persamaan turunan pertama:
2e^(2(0))x’ + 2e^(2(0))y’ = 0
2e^0x’ + 2e^0y’ = 0
2(1)x’ + 2(1)y’ = 0
2x’ + 2y’ = 0
x’ + y’ = 0
Dari hasil tersebut, diperoleh x’ + y’ = 0. Sehingga persamaan garis singgung adalah x + y = 0.
Contoh Soal 4
Tentukanlah gradien dari garis singgung fungsi implisit ln(x^2 + y^2) = 1 di titik (1, 0).
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan fungsi implisit terlebih dahulu. Dalam hal ini, persamaan dapat ditulis sebagai:
ln(x^2 + y^2) = 1
Turunkan persamaan tersebut terhadap x dan y menggunakan aturan rantai:
(1/(x^2 + y^2))(2x + 2yy’) = 0
Substitusikan titik (1, 0) ke dalam persamaan turunan pertama:
(1/(1^2 + 0^2))(2(1) + 2(0)y’) = 0
(1/(1 + 0))(2 + 0) = 0
(1/1)(2) = 0
2 = 0
Dari hasil tersebut, diperoleh 2 = 0. Dalam hal ini, tidak ada gradien yang dapat ditentukan karena terjadi kesalahan dalam penyelesaian.
Contoh Soal 5
Tentukanlah persamaan garis singgung dari fungsi implisit cos(xy) + x^2 – y^2 = 0 di titik (1, 1).
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan fungsi implisit terlebih dahulu. Dalam hal ini, persamaan dapat ditulis sebagai:
cos(xy) + x^2 – y^2 = 0
Turunkan persamaan tersebut terhadap x dan y menggunakan aturan rantai:
(-sin(xy))(y + xyy’) + 2x – 2yy’ = 0
Substitusikan titik (1, 1) ke dalam persamaan turunan pertama:
(-sin(1(1)))(1 + 1(1)y’) + 2(1) – 2(1)y’ = 0
(-sin(1))(1 + 1y’) + 2 – 2y’ = 0
(-sin(1))(1 + y’) + 2 – 2y’ = 0
-sin(1) – sin(1)y’ + 2 – 2y’ = 0
Dari hasil tersebut, diperoleh -sin(1) – sin(1)y’ + 2 – 2y’ = 0. Sehingga persamaan garis singgung adalah -sin(1) – sin(1)y’ + 2 – 2y’ = 0.
Kesimpulan
Fungsi implisit merupakan jenis fungsi matematika yang dinyatakan secara tidak langsung oleh suatu persamaan. Dalam fungsi ini, variabel-variabel yang terlibat tidak terpisah secara eksplisit. Contoh soal fungsi implisit meliputi penentuan persamaan garis singgung dan gradien garis singgung dari suatu fungsi implisit pada titik tertentu. Dalam penyelesaiannya, digunakan konsep turunan dan substitusi untuk mencari nilai-nilai yang dibutuhkan. Penting untuk memahami konsep dan teknik penyelesaian fungsi implisit agar dapat menjawab dan memecahkan berbagai contoh soal yang berkaitan.